📅 本期覆盖 arXiv math.PR Fri, 9 Oct 2026 公告批次（该批次共 45 篇），并同步扫描 Probability Theory and Related Fields（PTRF，CrossRef 0178-8051，近 30 条）与 Annals of Probability（CrossRef 0091-1798，近 30 条）。候选池合计 105 篇。

这是 Math 栏目的第一期：历史基线为空，去重自检返回 arXiv IDs = 0 / DOIs = 0 / titles = 0，属首次运行的正常状态。数据源方面，Annals of Mathematics 的 WordPress RSS 本期返回 0 条，AoP future papers（imstat.org）仍被 Anubis 反爬拦截，两者均不阻塞出刊。

04:00 增补（第 7–10 篇）。 本栏目在当日 00:30 出刊后于 04:00 再次按同一管线跑了一遍：arXiv math.PR 仍停在同一个 Fri, 9 Oct 2026 批次（周一的新批次尚未上线），但去重自检这次返回 arXiv IDs = 5 / DOIs = 3 / titles = 6 —— 说明首刊 6 篇已被正确排除，而候选池中仍留有若干未被收录、且分数不低的主线论文。因此本期采用增补方式追加 4 篇（Qingsan Zhu 的 branching capacity 奠基之作、Hartung–Louidor–Wu 的分支布朗运动极值水平集涨落、König 等人的 Pareto 随机势弱自避行走、Cai–Li–Shiraishi 的三维 LERW 缩放极限刻画），而非另起一期重复占位。

合计 10 篇的分布：branching process 主线 5 篇（香肠容量 / Yaglom 型极限定理 / 无穷维 Kesten–Stigum 强律 / branching capacity / BBM 极值水平集），self-interacting random walk 主线 4 篇（⋆-VRJP / 弱强化 Pólya 瓮 / 径向 excited random walk / 弱自避行走），紧密邻域 1 篇（三维 LERW）。非马氏过程与 stochastic flow 两条主线在整个候选池中没有真正命中的新作（既无 Volterra / 记忆核 / 分数阶反常扩散类的非马氏动力学，也无 flow of diffeomorphisms / isotropic stochastic flow 类结果），按宁缺毋滥原则继续留空，不收泛概率论文凑数。

📄 今日论文

Capacities and Hitting Times for Simple and (critical) Branching Random Walk Sausages

链接： https://arxiv.org/abs/2610.12160 ｜ arXiv： arXiv:2610.12160v1 [math.PR]（2026-10-08）

作者 / 机构： Joelle Ishak（论文未在 arXiv 页面标注机构）

一句话总结： 对有限集 A 沿简单随机游动或临界分支随机游动（critical BRW）轨迹搬运所得的「香肠」（sausage，即 Minkowski 和 ℛ + A），给出高维容量的非渐近定量估计，并由此读出这些 Minkowski 和击中远处有限集的概率。

研究问题： 给定含原点的有限集 A ⊆ ℤ^d 与随机点集 ℛ，其香肠为 ℛ + A := {x + a}. 目标是非渐近地（而非只在极限意义上）回答：香肠的容量如何随 ℛ 的规模、A 的势论大小变化。文中 ℛ 取三类：简单随机游动前 n 步值域 𝒮[0,n]；各行（ancestral line）首次退出球 B_R 即停所得的值域 —— 简单游动的 𝒮(B_R) 与临界 BRW 的 𝒯_c(B_R)；以及上述值域之间的 Minkowski 和。

主要结果：

  • 定理 1.1(i)：设 A 有限非空，N ≥ 2，d ≥ 2N+1。若 n ≥ 2·diam(A)²，则 E[Cap_{d-2(N-1)}(𝒮[0,n] + A)] ≍ n·Cap_{d-2N}(A)；若 R ≥ 2·diam(A)，则 E[Cap_{d-2(N-1)}(𝒮(B_R) + A)] ≍ R²·Cap_{d-2N}(A)。
  • 定理 1.1(ii)：设 N ≥ 3，d ≥ 2N+1，对充分大的 R，E[Cap_{d-2(N-2)}(𝒯_c(B_R) + A)] ≍ R²·Cap_{d-2N}(A)。
  • 注 1.2：(ii) 的下界只需线性条件 R ≥ cN·diam(A)；上界要求 R ≥ C_N·diam(A)^{a_{N-2}}，指数 a_m 由文中的迭代论证给出，N = 3 时 a_1 = 3。
  • 推论 1.5（由 (1.5)(1.6) 取 N = 3，故要求 d ≥ 7）：对任意 ‖z‖ ≥ 2R 且 R ≥ C·diam(A)³，有 P(z + 𝒯_c ↔ 𝒮(B_R) + A) ≍ P(z + 𝒮 ↔ 𝒯_c(B_R) + A) —— 在击中概率层面，简单随机游动与临界分支随机游动可以互换：把其中一个停在球内、让另一个跑完整值域，概率同阶。

方法与证明思路：

  • 以「击中概率 ↔ 容量」的经典对应作转换枢纽：先把普通随机游动、临界 BRW 以及它们的 Minkowski 和各自的击中概率翻译成相应阶数的容量，再统一估计。
  • 把游动按「位移首次超过给定半径即停」切成片段，完成片段的数目构成更新过程；单个停走片段的容量借 Asselah–Okada–Schapira–Sousi（PTRF 191(3–4) (2025), 1289–1322）关于随机游动值域 Minkowski 和的结果来控制，迭代即得 Proposition 2.1。
  • 处理临界 BRW 的核心新工具是环形分解（annular decomposition into successive waves）：把 BRW 按到原点的距离切成逐层波次，证明相邻波次贡献的几何衰减（第 6.1–6.2 节），再把各波容量的贡献加总。

技术亮点：

  • 估计是非渐近的：常数对 diam(A)、维数与 N 的依赖可显式追踪，而不是只给出 n → ∞ 的首项；
  • 环形分解被作者明确点出「may have further applications」，是本篇重要的工具性贡献；
  • 推论 1.5 揭示了一种对称性：simple random walk 与 critical BRW 在击中概率层面互为替身。

与关注领域的关联： 属 branching process 主线，且正落在近年活跃的 branching capacity 链路上 —— 文中反复用到 BCap(A) ≍ Cap_{d-4}(A) 这一容量可比性判据。

研究价值： ⭐⭐⭐⭐（4/5）— 把 sausage 容量的估计从「随机游动值域」推进到「分支随机游动值域及其 Minkowski 和」，且坚持非渐近形式。局限在于 (ii) 的上界需要一个依赖 N 的幂次条件 R ≥ C_N·diam(A)^{a_{N-2}}，该指数来自文中的迭代论证，作者并未声称最优。

Yaglom theorem for critical branching random walk on ℤ^d

链接： https://doi.org/10.1007/s00440-026-01525-6 ｜ DOI： 10.1007/s00440-026-01525-6 ｜ 预印本： https://arxiv.org/abs/2512.24047

作者 / 机构： Xinxin Chen（北京师范大学数学科学学院 School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University）、Shen Lin（法国 CNRS / LPSM, Sorbonne Université, Université Paris Cité, Paris）；两位作者贡献相同

发表信息： Probability Theory and Related Fields，2026-07-27 在线发表，正文 1–78 页；收稿 2026-01-09，接收 2026-07-19

一句话总结： 让临界分支随机游动从远点 x 出发并条件于「击中某个紧集 K」，给出它在 K 中累计占位时（occupation time）随 ‖x‖ 增长的渐近行为与极限分布，回答了 Le Gall 与 Merle 提出的一个问题。

研究问题： 设 Z_𝕋(K) 为整棵谱系树上落进 K 的个体总数（占位时），L_K 为首批抵达 K 的「先驱」（pioneers）个数，后者构成一条停止线（stopping line）。从远处 x 出发的临界 BRW 命中有界集的概率本就很小（由 branching capacity BCap(K) 控制），那么在条件命中之后，Z_𝕋(K) 到底有多大、极限分布是什么 —— 这正是经典 Yaglom 定理在「距离 → ∞」而非「世代 → ∞」上的对应物。

主要结果：

  • 定理 1.1（d = 4，临界维）：在跳跃分布 μ 对称且有有限支集的假设下，条件于命中后成立联合收敛：(L_K/Cap(K), Z_𝕋(K)/|K|) 经 1/(2σ²·c_4·log 𝒥(x)) 归一化后收敛到 (1,1) × Y，其中 Y 是参数为 1 的指数随机变量，常数 c_4 = 1/(8π²·√det Γ)。
  • 定理 1.3（d ≥ 5）：在尾部条件 μ({‖x‖ > r}) < C·r^{-d} 下，(L_K, Z_𝕋(K)) 的条件分布收敛到一个非退化极限 (Y_{d,K}, Z_{d,K})，其分布同时依赖于维数、K、后裔分布与跳跃律（文中 Remark 4 给出完整刻画）；此时 K 内各点的占位不再同分布，与 d = 4 的情形形成鲜明对比。
  • 定理 1.4（d ≤ 3）：Z_𝕋(K)/(|K|·𝒥(x)^{4-d}) 依分布收敛到 (σ²/(4√det Γ))·d^{(4-d)/2}·ℓ_+，其中 ℓ_+ 由布朗蛇（Brownian snake）在无穷游程测度下的占位密度给出；作者验证这与 Le Gall–Merle 关于超布朗运动的结果至多相差一个乘法常数。
  • 因此占位时的阶为 ‖x‖^{4-d}（d ≤ 3）、log‖x‖（d = 4）、O(1)（d ≥ 5） —— 与 d = 4 作为临界维的经典图景完全吻合。
  • 上述结论回答了 Le Gall 与 Merle（Electron. Commun. Probab. 11 (2006), 252–265）提出的问题。

记号说明：𝒥(x) := √(x·Γ^{-1}x/d)，Γ 为跳跃分布 μ 的协方差矩阵；σ² 为后裔分布的方差。

方法与证明思路：

  • 预备工具是换测度与 spine 分解（spinal decomposition）（第 2.1 节），用以把条件事件 {Z_𝕋(K) ≥ 1} 的复杂性落到脊（spine）结构上；
  • d = 4 情形的关键一环是对 L_K 与 Z_𝕋(K) 的二阶（L²）估计（第 4.1 节），再配合「最近共同祖先」分解与概率测度上的 Wasserstein 距离处理完成 Yaglom 型极限（第 4.2 节）；
  • 三个维数区间分别处理，正文顺序为「§3 d ≥ 5 → §4 d = 4 → §5 d ≤ 3」，其中 d ≤ 3 的极限对象直接借用布朗蛇的占位密度理论。

技术亮点：

  • 把 Yaglom 型极限定理从「世代 → ∞」搬到了「空间距离 → ∞」，并覆盖全部三个维数区间；
  • d ≥ 5 的极限不再是简单的指数分布，而依赖于 K 与跳跃律 —— 这是高维情形真正的难点所在；
  • 与超布朗运动一侧的已知结果实现对接（在相差乘法常数的意义上一致）。

与关注领域的关联： 属 branching process 主线，切中的是分支过程与分支随机游动的 Yaglom 型极限，同时串联起 branching capacity、谱系 / spine 方法这一整条技术链。

研究价值： ⭐⭐⭐⭐⭐（5/5）— 一篇 78 页长文，把一条由他人提出的开放问题按维数完整关闭，且三条维数途径各自给出了可核验的具体形式。值得一提的是它对 d = 4 给出了显式常数 c_4 = 1/(8π²·√det Γ)，这在同类极限定理中并不常见。

Strong law of large numbers and L log L condition for supercritical branching processes

链接： https://doi.org/10.1007/s00440-026-01524-7 ｜ DOI： 10.1007/s00440-026-01524-7 ｜ 预印本： https://arxiv.org/abs/2503.03324

作者 / 机构： Vincent Bansaye（CMAP, INRIA, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, Palaiseau）、Tresnia Berah（帝国理工学院 Department of Mathematics - Statistics Section, Imperial College London）、Bertrand Cloez（MISTEA, Université de Montpellier, INRAE, Institut Agro, Montpellier）

发表信息： Probability Theory and Related Fields，2026-08-01 在线发表，正文 1–44 页；收稿 2025-06-03，接收 2026-07-18

一句话总结： 在一般可测状态空间上的结构化种群分支过程中，于「再归一化半群依加权全变差范数收敛」的假设下，用 L log L 条件证明了再归一化经验测度的强收敛与相应鞅极限的非退化 —— 一条无穷维版本的 Kesten–Stigum 强律。

研究问题： 经典结论是：超临界 Bienaymé–Galton–Watson 过程中，鞅 W_n = Z_n/m^n 的极限非退化的充要条件是繁殖律满足 L log L 矩条件（Kesten–Stigum）。有限多型时可用 Perron–Frobenius 得到 (λ, h, γ) 三元组。但当每个个体的类型（trait）取值于一般可测状态空间时，这套有限维工具不再可用 —— 本文要问的正是：无穷维情形下的 L log L 型强律该如何陈述、条件又该是什么。

主要结果：

  • 作者聚焦于超临界常返（supercritical recurrent）情形：种群可以存活并增长，且性状分布收敛到一个概率测度；此时过程应由一阶矩半群的第一特征值问题的正三元组驱动。
  • 在「再归一化半群依加权全变差范数收敛」的假设下，证明了：
    • 再归一化经验测度的强收敛（即结构化分支过程的强大数律）；
    • 相应鞅极限的非退化性。
  • 收敛是在 L log L 条件下取得的，这给出了一条无穷维 Kesten–Stigum 结果，并且放宽了 Asmussen 与 Hering（1976）工作中要求的一阶矩半群一致收敛。
  • 三类应用实例：带吸收的分支扩散（absorbed branching diffusion）、house-of-cards 模型、若干生长–碎裂（growth-fragmentation）过程。

方法与证明思路：

  • 技术路线结合了一族鞅（families of martingales）、压缩性质（contraction properties），以及 Asmussen–Hering 的截断方法（truncation procedure）；
  • 正文结构是「§2 离散时间的一般研究（构造与定义 → 压缩与 L log L 矩 → 鞅族 → 定理证明与补充）→ §3 连续时间的收敛与应用」，两类时间设定分别处理。

技术亮点：

  • 把有限维矩阵特征值工具换成半群的加权全变差压缩，从而一次性覆盖无限维类型空间；
  • 明确指出自身假设比 Asmussen–Hering 的一致收敛条件弱，统一了部分文献结论并覆盖了新情形（house-of-cards、生长–碎裂）；
  • 离散时间与连续时间双轨并进，应用部分逐一给出具体模型的性状动力学、分支机制以及非爆炸性与生成元的验证。

与关注领域的关联： 属 branching process 主线的核心位置 —— L log L / Kesten–Stigum 是分支过程全部强律类结果的基点，本文把它推广到结构化与无穷维。

研究价值： ⭐⭐⭐⭐（4/5）— 属于「把教科书定理认真做好推广」那类工作：条件从一致收敛弱化为加权全变差收敛，适用范围从有限型拓展到一般性状空间，并给出三个不同来源的应用实例。对实用者的意义在于：判断一个结构化种群模型能否用强律，现在只需验证「加权全变差收敛 + L log L 矩」这两件事。

The ⋆-vertex-reinforced jump process

链接： https://doi.org/10.1214/25-aop1759 ｜ DOI： 10.1214/25-aop1759

作者 / 机构： Christophe Sabot（Université Claude Bernard Lyon 1, Institut Camille Jordan, CNRS UMR 5208）、Pierre Tarrès（NYU-ECNU Institute of Mathematical Sciences at NYU Shanghai）

发表信息： The Annals of Probability, Vol. 54, No. 4, pp. 1715–1771（2026-07-01）

一句话总结： 针对经典 VRJP 的不可逆推广 —— ⋆-VRJP（由 Bacallado、Sabot、Tarrès 于 2020 年引入）—— 给出它的混合表示（Yaglom 可逆马氏跳跃过程的混合）与随机 Schrödinger 算子表示。

研究问题： 经典 VRJP 的一个关键性质是时间变换后可交换（exchangeable），这支撑了它身上诸多精确可算的性质。⋆-VRJP 是 Coppersmith–Diaconis ERRW 之 ⋆-ERRW 版本的连续时间对应物，而 ⋆ 版本是不可逆的（事实上是 Yaglom reversible）：时间变换后不再可交换，这一缺失带来了一系列新困难与新现象。本文要做的就是在不可逆设定下重建这套结构。

主要结果：

  • 部分可交换性与混合表示：通过对初始局部时做适当随机化，⋆-VRJP 在时间变换后变为部分可交换（partially exchangeable）；作者把「randomized ⋆-VRJP」表示为一列 Yaglom 可逆马氏跳跃过程的混合，且混合测度是显式的；并进一步证明未随机化的 ⋆-VRJP 可写成一列条件马氏过程（conditioned Markov processes）的混合。
  • 随机 Schrödinger 算子表示：给出 ⋆-VRJP 通过一个随机 Schrödinger 算子的表示。经典 VRJP 的对应表示在理解其渐近行为上极为有效，这里是它的 ⋆ 版本类比。
  • 该构造建立在顶点上 ⋆-对称函数与 ⋆-反对称函数空间之间若干新的、相当惊人的积分恒等式之上；作者同时用随机 Schrödinger 算子刻画了 randomized ⋆-VRJP，从而以另一种更偏分析的方式重证了混合表示。
  • 作者明确表示：与 VRJP 类似，随机 Schrödinger 算子表示及其配套恒等式是 ⋆-VRJP 的关键特征。

方法与证明思路： 期刊落地页（projecteuclid 有 Incapsula 反爬）无法取得细化证明步骤，摘要由 CrossRef 元数据获取；此处按摘要陈述，不作推断。

技术亮点：

  • 在不可逆设定的自强化过程中恢复出可用的（部分）可交换结构 —— 这是本文最关键的一步；
  • 混合测度显式可写，而非仅给出存在性；
  • ⋆-对称 / ⋆-反对称函数空间上的积分恒等式本身具有独立于本文的价值。

与关注领域的关联： 属 self-interacting random walk 主线（顶点强化跳跃过程 / reinforced jump process），且与 ERRW–VRJP 这条「自强化过程可解结构」的脉络直接相连。

研究价值： ⭐⭐⭐⭐⭐（5/5）— ⋆-VRJP 是自强化过程里少数既精确可算又非可逆的模型；把它从「缺失可交换性」的困境里救回来，等于给不可逆强化过程这一类补上了最缺的工具。

Homogenization of weakly reinforced Pólya urns on countable networks

链接： https://arxiv.org/abs/2610.11780 ｜ arXiv： arXiv:2610.11780v1 [math.PR]（2026-10-08）

作者 / 机构： Shuo Qin（北京雁栖湖应用数学研究院 Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications；清华大学丘成桐数学科学中心 Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University）

一句话总结： 在一致有界度的可数图上，对弱强化 Pólya 瓮（(W,A)-reinforcement model / WARM 的图版本）证明 homogenization 猜想 —— 归一化边权几乎必然逐边收敛到一个与初值无关的确定性向量。

研究问题： WARM 由 van der Hofstad、Holmes、Kuznetsov 与 Ruszel 提出，原作讨论的是 α > 1 强强化区的平衡点稳定性与相变。Couzinié 与 Hirsch 转到可数网络、连续时间、单位初值与单位激发率，并猜想：在弱强化区 α < 1 内，任意一致有界度的可数图上都应有 homogenization —— 即存在唯一非消失均衡 μ，且 X_t(e) → μ_e 几乎必然。MATRIX 开放问题报告进一步给出带有任意有界正激发率的版本（不要求激发率有正下界）。本文就是要完整证明这一猜想。

主要结果：

  • 定理 1.1（Homogenization）：设 G = (V,E) 为可数连通单图，1 ≤ deg(v) ≤ Δ < ∞，各顶点配备独立的 Poisson 时钟，激发率 p_v 满足 0 < p_v ≤ p* < ∞，初权 N_0(e) 为确定性有限正值（无需一致有界）。则对任意强化指数 α ∈ [0,1)，极限方程存在唯一非消失均衡 μ，且对任意确定性有限正初权，几乎必然地对每条边 e 成立 lim_{t→∞} N_t(e)/t = μ_e.
  • 该均衡只依赖于图、激发率与 α，其坐标未必相等 —— 这就是「homogenization」在这里的确切含义；Proposition 2.2 给出 μ 关于激发率的显式上下界。
  • 若图是每点度数为 d、激发率恒为 p 的正则图，则常向量 μ_e = 2p/d 即为均衡，定理 1.1 在此情形下显式识别出极限。作者同时指出 Angel、Hermon 与 Yao 用不同方法独立证明了 Couzinié–Hirsch 的 homogenization 猜想。

方法与证明思路：

  • 极限对象是常微分方程 ẋ_e = F_e(x) = -x_e + Σ_{v∈e} p_v·x_e^α / S_v(x)（其中 S_v(x) = Σ_{f∈E_v} x_f^α）的均衡。
  • 核心一步是为该方程建立 Liouville 定理：每一个有界正的完全解（complete solution，在所有实数时间上有定义）都等于那个唯一的非消失均衡。注意仅有均衡唯一性并不足以推出定理 1.1。
  • Liouville 定理的证法是对数范数比较（logarithmic-norm comparison）：先用变量代换 y_e = x_e^{1-α} 消去强化项中的边因子；完全性给出对各顶点贡献的一致控制（即便激发率与坐标都缺乏正下界）；比较任意两个完全解并落到顶点方程上，此时「每条边对它的两个端点各贡献一次」使得对角相互作用系数恰好等于该行非对角系数之和 —— 基于这一 row-sum balance 的上确界范数估计给出差在足够长区间上的衰减，再把它推向任意远的过去即得 Liouville 定理。
  • 第二步是把瓮过程接到完全解上：先证明持久性（persistence） liminf_{t→∞} X_t(e) > 0 几乎必然（通过与纯生过程比较来覆盖更一般的情形），再用对数时间尺度的随机逼近论证完成任务。

技术亮点：

  • 首次同时允许任意有界正激发率（不需要正下界）与任意确定性有限正初权；
  • 证明用的是 Liouville 型而非 Lyapunov 型论证 —— 因为可数图上定义 Lyapunov 函数的那些和式未必收敛；
  • row-sum balance 这一结构性巧合（边对每个端点各贡献一次）是整个比较论证的支点。

与关注领域的关联： 属 self-interacting random walk 主线（弱强化 Pólya 瓮 / 强化互动过程），并把 Couzinié–Hirsch 与 MATRIX 报告中的公开猜想一并解决。

研究价值： ⭐⭐⭐⭐（4/5）— 一个猜想的干净解决。方法论上更值得留意：用 Liouville 定理替代 Lyapunov 函数来处理无限图上随机逼近的极限集，这一招很可能移植到其他无穷维强化过程上。

A shape theorem for a radially excited random walk in dimensions d ≥ 2

链接： https://arxiv.org/abs/2610.12138 ｜ arXiv： arXiv:2610.12138v1 [math.PR]（2026-10-07）

作者 / 机构： Arvind Singh（论文未在 arXiv 页面标注机构）

一句话总结： 对首次访问时的偏置以恒定强度 β > 0 指向原点的 once-excited random walk（ℤ^d, d ≥ 2），证明它是常返的，并建立球形 shape theorem：n 步后的痕迹渐近是一个以原点为中心的欧氏球，半径正比于 n^{1/(d+1)}，局部时则呈渐近锥形（conical）剖面。

研究问题： Excited random walk 由 Benjamini 与 Wilson 提出，原型中所有 cookie 偏置指向同一固定方向，已被证明在任意 d ≥ 2 下非常返且具有弹道行为。2007 年 Oberwolfach 研讨会的一次开放问题环节中，Kozma 讨论了另一种变体：首次访问的偏置随位置而变、但始终指向原点。他随后宣布这样的游动在任意维数下总是常返的，并猜想所访集合有极限形状、半径阶为 n^{1/(d+1)}。Kozma 的方法覆盖面更广，能处理偏置强度可变的内向 cookie，但得不到 shape theorem。本文换用另一套路子关闭了这个猜想。

主要结果：

  • 模型：给定强度参数 β > 0，每点 x 处首次访问所用的概率分布 q_x 满足 Σ_{e∈ℰ} q_x(e)·e = -β·n(x)（n(x) = x/|x| 为径向单位向量），原点处取对称；此后访问该点的跳转为简单对称随机游动。β ≤ 1/d 时可由 q_x(±e_i) = 1/(2d) ∓ βx_i/(2|x|) 实现。
  • 定理 2.1（Shape theorem）：记 v_d 为单位欧氏球体积，令 C_* := 2dβ·v_d/(d+1)，r_n := (n/C_*)^{1/(d+1)}。则几乎必然地：
    • (i) 对任意 ε ∈ (0,1)，当 n 足够大时有 D_{(1-ε)r_n} ⊂ A_n ⊂ D_{(1+ε)r_n}（其中 A_n 为前 n 步的痕迹，D_r := {x ∈ ℤ^d : |x| < r}）；特别地 #A_n ∼ v_d·r_n^d，且 max_{x∈A_n} |x| ∼ r_n；
    • (ii) 局部时呈锥形，且成立一致逼近 lim_{n→∞} (1/r_n)·sup_{x∈ℤ^d} |T_n(x) - 2dβ·(r_n - |x|)_+| = 0；特别地每个固定点被访问无穷多次，故游动常返，且对任意固定 x ∈ ℤ^d 有 T_n(x)/r_n → 2dβ。
  • 由此确认了 Kozma (2007) 关于该模型痕迹形状的猜想，并由 (ii) 顺带给出常返性的另一个证明。

方法与证明思路：

  • 引入一族由格林函数（Green functions）构造的、以 ℤ^d 为指标集的鞅，把每个点的局部时与当前痕迹联系起来；证明鞅的涨落可以忽略，从而得到局部时与痕迹之间的一个近似确定性关系。
  • 一个刚性（rigidity）论证说明这个关系只允许锥形的局部时剖面（Proposition 3.2），但尚不指定确切半径；再用一个**环形穿越估计（annulus-crossing estimate）**排除细长的突起，把锥的底半径等同于退出半径（Lemma 3.3）。
  • 上述结果先对「停在退出大球的时刻」的游动证明，再转移回确定时间 n。

技术亮点：

  • 与经典 excited RW 不同，这里没有「一个固定方向」的结构可以利用，靠的是径向对称性转化出来的格林函数鞅 + 刚性 + 环形穿越三件套；
  • 给出的是局部时剖面的一致（sup 形式）逼近，比只给出体积 / 半径级别的结果强得多；
  • 极限形状是显式的：球半径常数 C_* = 2dβ·v_d/(d+1) 完全由 β 与维数决定。

与关注领域的关联： 属 self-interacting random walk 主线（excited random walk / cookie random walk）；论文自己也点明，这类模型因其「non-Markovian dynamics and long memory」而极难处理 —— 这正好接到非马氏那条主线：这里非马氏性来自「是否首次访问」的记忆，本文的办法是用格林函数鞅把记忆结算成一步可算的量。

研究价值： ⭐⭐⭐⭐（4/5）— 解决了 Kozma 2007 年提出的一个猜想，且给出的是强形式（一致锥形局部时）。局限在于偏置要求「恰好径向、强度恒定」；原文明确指出 Kozma 的方法覆盖面更广（偏置可变的内向 cookie）但无 shape theorem，两者的互补关系值得留意。

On the critical branching random walk I: branching capacity and visiting probability

链接： https://doi.org/10.1007/s00440-026-01530-9 ｜ DOI： 10.1007/s00440-026-01530-9 ｜ 预印本： https://arxiv.org/abs/1611.10324

作者 / 机构： Qingsan Zhu（OpenAlex 元数据记录的机构为南京航空航天大学 Nanjing University of Aeronautics and Astronautics；2016 年 arXiv 预印本署名机构为 University of British Columbia, Vancouver）

发表信息： Probability Theory and Related Fields，2026-08-22 在线发表；卷 / 期 / 页码：CrossRef 与 OpenAlex 均未提供

一句话总结： 把离散位势论的容量理论整体搬到临界分支随机游动上，对 ℤ^d、d ≥ 5 中的任意有限集定义 branching capacity BCap(K)，并证明它同时控制「从远处出发的临界 BRW 访问 K」的概率渐近与命中点的条件分布。

研究问题： 经典离散位势论中，有限集 K 的容量为 Cap(K) = Σ_{a∈K} ES_K(a)，并有三条基准结论：lim ‖x‖^{d-2}·P(S_x visits K) = a_d·Cap(K)；条件首访问点分布收敛到 ES_K(a)/Cap(K)（即调和测度）；条件末访问点分布也收敛到同一测度。把这些搬到临界 BRW 上有一个陷阱：直接把「BRW 永不回到 K 的概率」当作逃逸概率的推广并不对 —— 必须定义两个不同的推广，一个对应首访问点、一个对应末访问点。

主要结果：

  • 作者引入 Es_K(x) 与 Esc_K(x)（分别对应首、末访问点，二者都来自无穷版本的分支过程），并定义 BCap(K) = Σ_{z∈K} Es_K(z) = Σ_{z∈K} Esc_K(z)。
  • 定理 1.1：设 d ≥ 5，后裔分布 μ 均值为 1、方差 σ² > 0，跳跃分布 θ 零均值、不支撑在 ℤ^d 的真子群上且满足弱 L^d 条件 θ({|x| > r}) < C·r^{-d}。则 lim_{x→∞} ‖x‖^{d-2}·P(𝒮_x visits K) = a_d·BCap(K)； lim_{x→∞} P(𝒮_x(τ_K) = a | 𝒮_x visits K) = Es_K(a)/BCap(K)； lim_{x→∞} P(𝒮_x(ξ_K) = a | 𝒮_x visits K) = Esc_K(a)/BCap(K)。 其中 τ_K、ξ_K 是深度优先搜索意义下的首、末访问时刻，a_d 与随机游动情形是同一个常数。后裔分布退化为 μ(1) = 1 时，Es_K、Esc_K 分别退化为反向游动与原游动的逃逸概率，定理 1.1 回到随机游动的经典结果。
  • 定理 1.2：条件于 𝒮_x 访问 K，K 与 𝒮_x 值域的交集依分布收敛（由定理 9.1 关于进入点集合的收敛推出）。
  • 定理 1.3：对有限 A 与满足 ρ(x,A) ≥ 0.1·diam(A) 的 x，有 P(𝒮_x visits A) ≍ BCap(A)/ρ(x,A)^{d-2} —— 与随机游动的 Cap(A)/ρ(x,A)^{d-2} 完全平行。
  • 定理 1.4（球的 branching capacity）：m 维球 B^m(r) 满足 BCap(B^m(r)) ≍ r^{d-4}（m ≥ d-3）、≍ r^{d-4}/log r（m = d-4）、≍ r^{m}（m ≤ d-5）；对比经典容量 Cap(B^m(r)) ≍ r^{d-2}（m ≥ d-1）、≍ r^{d-2}/log r（m = d-2）、≍ r^{m}（m ≤ d-3）。
  • 定理 1.5：两个非退化临界后裔分布 μ₁、μ₂（有限二阶矩）给出的 branching capacity 可比较，比较常数 C(μ₁,μ₂) 甚至与跳跃分布 θ 无关。作者明确指出跳跃分布变化时的可比性（文中式 (1.10)）是猜想，本文未能证明。
  • 定位：Le Gall 与 Lin 在 d ≤ 3 给出 lim ‖x‖²·P(𝒮_x visits 0) = 2(4-d)/(dσ²)，并提出其他维数的问题；定理 1.1 解决了 d ≥ 5 这一侧，临界维 d = 4 由同系列第三篇处理（lim ‖x‖²·log‖x‖·P(𝒮_x visits K) = 1/(2σ²)）。

方法与证明思路：

  • 正文骨架为「§3 逃逸概率与 branching capacity → §4 单调性与次可加性 → §5 带特殊杀死的随机游动 → §6 格林函数收敛 → §9 条件进入测度的构造与收敛 → §10 球的 branching capacity」。
  • 一个值得记下的反向用法：按定义直接计算逃逸概率通常很难，但可以反过来用访问概率渐近 —— 先估计 P(𝒮_x visits A)，再反推 BCap(A) 的上下界；§10 中球的容量阶正是这样得到的。

技术亮点：

  • 「逃逸概率必须拆成两个」这一观察是整条 branching capacity 理论的入口，此前并不显然；
  • 定理 1.5 说明 branching capacity 在相当程度上不依赖模型细节（后裔分布可换，跳跃分布甚至不进入常数），这为把它当作一个稳健的势论不变量打下基础；
  • 与同日收录的香肠容量一文直接咬合：后者反复使用的 BCap(A) ≍ Cap_{d-4}(A) 判据，正是本文定理 1.4 在 d-4 阶上的体现。

与关注领域的关联： 属 branching process 主线的奠基位置 —— BCap 这个概念本身就由本文引入，后续 Bai–Delmas–Hu 关于随机游动值域 branching capacity 的工作（arXiv:2402.13735、arXiv:2404.19447）明确以「Zhu 2016」为定义来源，Schapira 关于随机游动值域 branching capacity 的大数律（arXiv:2303.17830）也建立在同一概念之上。

研究价值： ⭐⭐⭐⭐⭐（5/5）— 一篇把经典位势论整体移植到分支设定上的工作，定理编号、维数条件与容量阶都给出了可核验的显式形式。两点如实说明：其一，PTRF 版本正文未能获取（Springer 落地页本期返回反爬挑战，CrossRef 与 OpenAlex 均无摘要），上述陈述取自同题预印本 arXiv:1611.10324v2，若期刊版有修订以期刊版为准；其二，它并非「新写」的论文 —— 预印本可追溯到 2016 年，PTRF 直到 2026-08-22 才在线发表。

On the fluctuations of the extremal and cluster level sets of branching Brownian motion

链接： https://doi.org/10.1007/s00440-026-01477-x ｜ DOI： 10.1007/s00440-026-01477-x ｜ 预印本： https://arxiv.org/abs/2405.17634

作者 / 机构： Lisa Hartung（美因茨约翰内斯·古腾堡大学 Johannes Gutenberg University Mainz）、Oren Louidor（以色列理工学院 Technion）、Tianqi Wu（以色列理工学院 Technion）

发表信息： Probability Theory and Related Fields，2026-07-07 在线发表；卷 / 期 / 页码：CrossRef 与 OpenAlex 均未提供

⚠️ 摘要来源说明：PTRF 的 Springer 落地页本期返回反爬挑战，CrossRef 与 OpenAlex 均未收录该文摘要，Semantic Scholar 亦无摘要。以下结果陈述取自同作者、同主题的预印本 arXiv:2405.17634（题为 On the Growth of the Extremal and Cluster Level Sets in Branching Brownian Motion，2024-05-27）。期刊版题名与预印本略有差异，若两者有出入以期刊版为准；证明细节未获取，不作推断。

一句话总结： 给出分支布朗运动两类点过程 —— 极值点过程与（谱系邻域内的）簇点过程 —— 的上水平集 [-v, ∞) 质量随 v → ∞ 的渐近：前者是几乎必然意义下的 C_⋆ Z v e^{√2 v}(1+o(1))，后者是 √2 v 减去 v^{2/3} 阶的随机涨落。

研究问题： 分支布朗运动的极值结构有两个层次的记录对象：极值点过程记录所有极值的高度，簇点过程记录局部极大值周围「谱系邻域尺度为 1」内的相对高度。本文关心的是这两者各自的上水平集质量在 v → ∞ 时如何增长。

主要结果：

  • 极值点过程：上水平集的质量增长为 C_⋆ Z v e^{√2 v}(1+o(1))，v → ∞，几乎必然成立；其中 Z 是相应导数鞅（derivative martingale）的极限，C_⋆ ∈ (0, ∞) 为普适常数。作者指出此结论改进了 Cortines 等人（arXiv:1703.06529）与 Mytnik 等人（arXiv:2009.02042）的工作 —— 那些结果只在依概率意义下给出渐近。
  • 簇点过程：上水平集质量的对数增长为 √2 v 减去 v^{2/3} 阶的随机涨落，这些涨落在极限下由一个显式分布给出。作者指出这使 Mueller 等人（arXiv:1910.06382）与 Le 等人（arXiv:2207.07672）在物理文献中的推导得以严格化，并解决了其中一个猜想。

方法与证明思路： 未获取（见上方摘要来源说明），此处不作推断。

技术亮点：

  • 把极值点过程的质量渐近从「依概率」提升到「几乎必然」，对这类依赖极值样本的对象而言通常并不容易；
  • 簇水平集的 v^{2/3} 涨落阶与显式极限分布，把此前只有物理推导的预测变成了定理；
  • 两类点过程在同一篇里平行处理，恰好对应 BBM 极值结构的「全局高度」与「局部谱系」两个尺度。

与关注领域的关联： 属 branching process 主线（branching Brownian motion 的极值与谱系邻域结构），与同日收录的两篇临界分支随机游动工作共享「分支结构 + 极值 / 占位」的方法论底色。

研究价值： ⭐⭐⭐⭐（4/5）— 结果本身很硬（a.s. 渐近 + 显式涨落律），但本条目受限于期刊摘要不可得；若要精读建议直接读预印本并核对期刊版。

Weakly self-avoiding walk in a Pareto-distributed random potential

链接： https://doi.org/10.1214/25-aop1792 ｜ DOI： 10.1214/25-aop1792 ｜ 预印本： https://arxiv.org/abs/2306.03788

作者 / 机构： Wolfgang König（柏林 Weierstrass 应用分析与随机研究所 Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics）、Nicolas Pétrélis（南特大学 Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes）、Renato Soares dos Santos（米纳斯吉拉斯联邦大学 UFMG 数学系）、Willem van Zuijlen（柏林 Weierstrass 应用分析与随机研究所）

发表信息： The Annals of Probability, Vol. 54, No. 3, pp. 1427–1477（2026-05-01）

一句话总结： 在 i.i.d. Pareto 随机势中同时带被势吸引与弱自避式自排斥两种竞争相互作用的连续时间随机游动模型里，识别出配分函数的对数渐近（一个随机变分公式），并在 α > 2d 时给出主导路径行为的完整刻画与相应的大数律。

研究问题： 路径测度上同时挂着两种相反的力：一种把路径拉向随机势取值大的位置（吸引），一种是弱自避行走式的自排斥。势取 i.i.d. Pareto 分布、参数 α > d。两种相互作用的强度被调到 t → ∞ 时贡献同一量级 —— 这是竞争最激烈、也最难的区间。问：配分函数如何渐近？哪一类路径给出主导贡献？

主要结果：

  • (1) 对数渐近：配分函数的对数渐近由一个随机变分公式给出。
  • (2) 主导路径行为（α > 2d）：给出主贡献路径的显式图像 —— 路径沿一条最优轨迹，在有限多个随机格点上各停留一个正的随机比例的时间。
  • 大数律：证明上述行为的大数律，即所有其他路径行为对配分函数的贡献都严格更小。
  • 极限对象：变分问题与最优路径的联合分布可由随机势重标度后得到的极限 Poisson 点过程表达；该收敛为依分布收敛，属 i.i.d. 势在大盒子中重标度的经典极值设定（作者类比 Ann. Probab. 37 (2009) 347–392）。

方法与证明思路： 摘要层面给出的是结果结构而非证明步骤；可辨识的主线是「把势的极值部分重标度成 Poisson 点过程 → 把配分函数的对数渐近化为一个随机变分问题 → 用大数律排除非最优路径行为」。具体技术细节未获取，不作推断。

技术亮点：

  • 把「吸引」与「自排斥」调到同一量级而不让任一方压倒另一方，本身就要求一套精细的平衡；
  • 极限 Poisson 点过程的出现，把「随机环境中的最优轨迹」问题接到了经典极值理论上，是很自然的桥梁；
  • 「有限多个站点、各占正的随机比例时间」这一主导路径图像相当直观，与随机环境中常见的局部化现象一致。

与关注领域的关联： 属 self-interacting random walk 主线（弱自避行走 / 自排斥路径测度），同时与紧密邻域中的 random walk in random environment 交叉 —— 这是两条线少见的正面相接之处。

研究价值： ⭐⭐⭐⭐（4/5）— 模型的竞争结构干净，结果以随机变分公式收口，读起来很完整；α > 2d 是主要限制，该条件之外的最优路径图像本文未覆盖。

Characterization and scaling limit of three-dimensional loop-erased random walk and random-walk loop-catchers

链接： https://arxiv.org/abs/2610.12047 ｜ arXiv： arXiv:2610.12047v1 [math.PR]（2026-10-08）

作者 / 机构： Gefei Cai、Xinyi Li（北京大学北京国际数学研究中心 Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University）、Daisuke Shiraishi（京都大学信息学研究科 Graduate School of Informatics, Kyoto University）

一句话总结： 证明「与强度 1 的独立 Brownian loop soup 做环路装饰后可恢复 Brownian 值域」这一 recovery 性质唯一地刻画了三维 LERW 的缩放极限，从而解决 Sapozhnikov–Shiraishi 猜想 1.3 的三维情形，并顺带构造出三维 Brownian loop-catchers。

研究问题： 三维 LERW 的缩放极限此前已有多个层次的结果：Kozma（Acta Math. 199 (2007), 29–152）构造出随机紧集并证明旋转与伸缩不变性；Shiraishi 证明增长指数存在；Li–Shiraishi 证明自然参数化下的收敛。但这些回答的是「极限是什么、怎么参数化」，还没有回答「仅凭连续统数据能否唯一确定它的律」。Sapozhnikov–Shiraishi（PTRF 172 (2018), 615–662）在 d = 2, 3 证明：每个子列极限都是简单曲线，且它与独立强度 1 Brownian loop soup 中所有与它相交的环路之并（取闭包后）与停止的 Brownian 值域同分布；其猜想 1.3 问的正是这一 recovery 性质是否唯一决定曲线律。Cai（arXiv:2607.18070）引入 random-walk loop-catchers（参数 λ ∈ [0,1]，λ = 0 为完整游动迹、λ = 1 为 LERW），用纠缠多路径 LERW 给出 Green 函数检验并解决二维情形。本文完成三维推广。

主要结果：

  • 设定：B ⊂ ℝ³ 为含 0 的有界连通 Lipschitz 域，Γ 为从 0 到 ∂B 的无参数化曲线空间（带 Hausdorff 度量诱导的 Borel 结构），ℒ_B^λ 为独立于 K 的强度 λ Brownian loop soup，𝒟_λ(K) := closure(K ∪ ⋃_{ℓ ∈ ℒ_B^λ, ℓ∩K≠∅} ℓ) 为直接环路装饰。称概率测度 𝔪 满足强度 1 recovery 性质，若 𝒟_1(K) =_d W[0, τ_B]（W 为从 0 出发的 Brownian motion，τ_B 为其首次离开 B 的时刻）。
  • 定理 1.1：满足强度 1 recovery 性质的概率测度 𝔪 唯一，且它就是三维 LERW 从 0 到 ∂B 的缩放极限律（收敛取无参数化 Hausdorff 迹拓扑）。
  • 定理 1.2：对每个 0 < λ ≤ 1，离散 λ-random-walk loop-catcher 的胞腔迹 K_λ^δ 的律在 δ = 1/N ↓ 0 时依 Hausdorff 拓扑收敛到 ν_λ；K_λ^B 内部为空，且对任意紧集 A ⋐ B 成立 E[1{K_λ^B ∩ A = ∅}·e^{-λ·m_B(K_λ^B, A)}] = P_0(W[0,τ_B] ∩ A = ∅)， 等价于 𝒟_λ(K_λ^B) =_d W[0,τ_B]；且 ν_λ 是唯一满足该式的律。λ = 1 时 ν_1 退化为定理 1.1 中的 𝔪。
  • 推论 1.4：三维 LERW 缩放极限（无穷游走版本，附加无穷远端点）具有 inversion invariance（反演不变性）。
  • 注 1.3：定理 1.1 为把三维 LERW 的缩放极限称作 loop-erased Brownian motion 提供了内在依据 —— 但这是分布意义下的唯一性；Brownian 轨道是否几乎必然存在唯一的（模递增重参数化的）可测 loop-erasure，在二维与三维都仍开放。
  • 原文自陈的局限：对 loop-catcher 而言，「作为曲线、模递增重参数化」的收敛是比本文结论更强的断言，本文论证尚未建立 —— recovery 性质确定的是值域，不保留遍历顺序。

方法与证明思路：

  • 核心工具是 Green 函数检验（Green-function test）：Cai 的纠缠多路径 LERW（entangled multipath LERW）构造能把 recovery 恒等式转化为被杀 Green 函数的混合矩，随机探针（random probes）是其中的执行者。
  • 三维部分的主要工作量在于证明所需的可击性估计（hittability estimates），并把有限图上的 recovery 恒等式（文中 (2.15)、(2.16)）过渡到极限。
  • 整体是一个「先分离、再识别」的结构：紧致性给出子列极限，Sapozhnikov–Shiraishi 的定理 1.1–1.2 推广到 Lipschitz 域后给出 recovery 性质，定理 1.1 再把所有子列极限的共同律识别出来。

技术亮点：

  • 用「唯一性」而非「构造」来确定三维 LERW 的连续对象 —— 作者明确指出，这把「识别子列极限」与「构造它所需的离散估计」两件事彻底分开；
  • recovery 性质只涉及 Brownian motion 与 Brownian loop measure，是真正内在的连续统描述；
  • 反演不变性作为副产品出现，而按 Kozma 的框架取得它会相当麻烦。

与关注领域的关联： 属紧密邻域（loop-erased random walk / loop soup / random interlacement），不在四条主线之内，但它是本期 arXiv 批次中分数最高的候选（22），且恰好呼应本期 branching 一侧的方法论 —— 同样是用一个外部量先锁死结构、再回头推出原本不可直接计算的行为。

研究价值： ⭐⭐⭐⭐⭐（5/5）— 解决了一个被明确提出、悬置多年的猜想（Sapozhnikov–Shiraishi 2018），并把 RWLC 这一新模型族的三维连续对象一并构造出来。若你关心 loop soup / SLE / 三维临界几何这条线，这篇是本期最值得先读的 arXiv 新作。

📊 今日关注领域分布

主线分布（04:00 增补后）：branching process / branching random walk 5 篇，self-interacting random walk 4 篇，紧密邻域 1 篇，非马氏过程 0 篇，stochastic flow 0 篇。 后两条主线本期候选池（105 篇）中没有真正命中的新作 —— 既没有 Volterra / 记忆核 / 分数阶反常扩散类的非马氏动力学，也没有 flow of diffeomorphisms、isotropic stochastic flow 或随机动力系统方向的新上线论文。按宁缺毋滥原则，这两条主线本期留空，不用泛概率论文（本期候选池中另有 transfer operator / random matrix / SPDE 抽样一类的工作，均属邻域之外）凑数。

增补之后，branching 这条线内部出现了一个清晰的地基结构：Zhu 的 branching capacity 是最底下那块砖（定义 BCap、给出访问概率渐近与命中点条件分布），同日收录的另外两篇直接站在它上面 —— Ishak 的香肠容量反复用 BCap(A) ≍ Cap_{d-4}(A) 作可比性判据，Chen–Lin 的 Yaglom 型定理里「命中概率本就很小」这件事正是由 BCap(K) 控制的。加上 Bansaye 等人的无穷维强律与 Hartung 等人的 BBM 极值水平集，这条主线今天被势论 / 容量与极值结构两股占满。self-interacting 一侧则保持三条独立进路（强化跳跃过程 / 强化瓮 / excited walk），本期增补的弱自避行走是第四条，且它是唯一一个把模型放进随机环境里做的。

另一个层面的共同点值得记录：这 10 篇里有超过一半在处理「结构比看上去更受约束」这件事。 ⋆-VRJP 在不可逆设定下找回部分可交换性并落到马氏跳跃过程的混合；Pólya 瓮把随机逼近轨道压到一个 Liouville 定理所能锁定的确定性均衡；径向 excited random walk 用刚性论证把局部时剖面逼成唯一锥形；Yaglom 一文借 spine 分解把条件结构降到单脊上。增补的三篇重复了同一手法：Zhu 用容量锁住访问概率与命中点分布（甚至反过来用访问概率去估容量）；Cai–Li–Shiraishi 用 recovery 性质锁住三维 LERW 的律；König 等人用随机变分公式锁住最优路径。手法是同一种：先找到一个能从外部锁死结构的量（混合测度 / Liouville 性质 / 格林函数鞅 / 脊分解 / 容量 / recovery 性质 / 变分公式），再回头推出原本不可直接计算的行为。 与之对照，香肠容量与 BBM 极值两篇走的是另一条路 —— 更新式分割 + 环形分解、或直接的极值渐近计算，属于「局部化 + 加和」而非「全局锁定」。

第三点：Yaglom 型结果这一支近期明显在升温。 除本期的 PTRF 长文（7 月上线）外，同一批作者在 arXiv 上还有 2026-09 的相关工作（二维情形的局部存活概率与 Yaglom 极限定理），本期因超出 21 天抓取窗口未纳入；对这条线感兴趣的读者可以顺着一并读。

最后交代未收录但值得留意的几篇（均因篇幅与主线优先级让位，留待后续）：Christian Mönch 的 Loop soup percolation and boundary dimension on metric trees（arXiv:2610.12053，布朗 loop soup 在度量树上的渗流阈值为 1 - D_G/2，是 Lyons 分支数公式的类比，score 19.4）；Robin Khanfir 的 Fluctuations of the Horton–Strahler number of stable Galton–Watson trees（AoP 54(4), 1908–1974，score 6，恰好卡在收录取线上）；Alberto Chiarini 与 Emanuele Pasqui 的随机环境下 DGFF 硬墙排斥（d ≥ 3，score 20.6）；Hong-Quan Tran 的 Glauber–exclusion 过程 cutoff（score 17）。其中 Mönch 那篇严格说落在紧密邻域（loop soup）而非四条主线上，若后续某期 branching / self-interacting 一侧缺稿，它是首选补位。

🏆 最值得精读的几篇

  1. On the critical branching random walk I（PTRF，04:00 增补） — 本期唯一一篇「奠基性」文章：BCap 这个概念从这里出来，而同日收录的香肠容量与 Yaglom 两篇都在用它。若只想读一篇 branching 侧的文章，读这篇的定理 1.1、1.4、1.5 就够了 —— 访问概率渐近、球的容量阶、以及「换个后裔分布容量只差一个常数」这三件事，构成了后续几乎所有 branching capacity 工作的共同底盘。

  2. Characterization and scaling limit of three-dimensional loop-erased random walk（arXiv，04:00 增补） — 本期最新、也最「干净利落」的一篇：一个悬置多年的猜想（Sapozhnikov–Shiraishi 2018 猜想 1.3）被一个唯一性论证直接关闭，而且用的判据只是 Brownian motion 与 Brownian loop measure。它示范的那种「先分离后识别」（紧致性给子列极限 → recovery 性质给约束 → 唯一性给共同律）很可能被搬到别的高维临界模型上。

  3. Yaglom theorem for critical branching random walk on ℤ^d（PTRF）与 The ⋆-vertex-reinforced jump process（Annals of Probability） — 首刊时点名的两篇，理由不变：前者按三个维数区间完整关闭了 Le Gall–Merle 提出的问题，想进入临界分支随机游动与超布朗运动的交叉地带，它是目前最合适的入口；后者把「非可逆性」这个自强化过程里最麻烦的东西重新装进了随机 Schrödinger 算子与混合表示的语境，⋆-对称 / ⋆-反对称函数空间上的积分恒等式很可能在此后反复被引用。

数据来源：arXiv math.PR 2026-10-09（Fri, 9 Oct 2026）公告批次（45 篇） · Annals of Mathematics RSS（本期 0 条） · Annals of Probability（CrossRef 0091-1798） · Probability Theory and Related Fields（CrossRef 0178-8051） · 机构与卷期页补充自 OpenAlex 与 CrossRef | 首刊 2026-10-12 00:30，04:00 增补 4 篇，最后更新 2026-10-12 04:08 (北京时间)